�� 744 ���� �� ������Ʊ��

2013-11-08 ���ߣ� ������
  ���������פ�ձ���ʹ��ռ���Ŷ�����ľ�����������ĵĵ�Ƥ��ͬʱҲ���������פ�ձ���ʹ����ռ�������󣬽�����Ϊ�����ġ���Ȼ������ʹ�ݵĵ�λҲ��������ģ�˭��֪���������ձ�gcd�ġ�̫�����롱����g�����ɵ��ܺ�̨��

  ����һ���磬������ʹ���ڣ��������У��Ѿ����������˼�λ�ÿ͡�����g����ϯ�沿��������ϯҰ�����������g��֯����ɽ����������g����ǣ��൱�����鳤���������Σ������Ѿ����˵���g���к����أ��⼸λ�ɶ��Ƕ�һ�½������ձ���Ҫ�������Ĵ�������ʱ���ȴ���˴����Сѧ��һ�����˰��ƨ�ɣ�˫�ַ���ϥ���ϣ�Ŀ�ⶼ�۽������Ƕ����һ��ͺ�Դ���������ʹ���ϡ�

  ���������ʹ���������.��³��������Ҳ�Ǹ��˲�������ﰡ����ԭ������ʷ��1935���ʱ�����Ѿ���Ī˹����ί��һ����ˣ����������ʱ�գ���³����ͬ־�Ĺ��˲��ѣ���û���ܽ�ʵ����Ļ������Ż���Ů�����ֲ�����̫�ˣ������Ǻ�����ٳ���������һֱ����������Ȩ�����ĵ��ż�����������������g���������������������վ������Ļ�һ�ߣ�������;������ƽ���ȣ�һֱ��������ұ��ҵ��ҵ�е����쵼�ɲ�����ʮ���ĩ��ʱ�򻹱��ɵ��ձ���������ұ��ҵר�����ų���Ϊ�ձ�������ҵ�Ľ��������˺������͡�Ҳͬ�ձ�gcd�ļ����߲����ィ��������˽�����ꡣ�����ֱ��⽻����ίԱ�Ჿ����Ϊפ�ձ���ʹ���Դ��������ǰ���ʵ�����ŵ��˹����ʹ�����Ǹ�ʱ���ձ��ۿ���Ҫ�⵽���������֣����ƺܲ��á�����û��ʲô�������ձ���ʹ�����Ǿͱ��˺�³��������⽻���������⺺�ˡ�

  ��Ȼ��³���򲻶��⽻������������פ�ձ���ʹ������ɵò�������Ȼû��ʲô���ʵĵط�����Ҳû�з�ʲô������ƽ���ȵİ����������ίԱ����λ�Ӹ������ˡ������ձ�gcdҲ���·ת����Ȼ������������Ⱥ����ս�ж�ȡ����ʤ����������������˺ô�һ����̽������������������鱾������Ҳû����ϵ����������Ļ�ͬ־ȴ��Ϊ��³����ͬ־��������й�������������ö�������¡��ۿ��ž�Ҫ���˺�ͨ�ˡ������������Ī˹���ع�ҵ����ίԱ��������д�Ÿ�����������Ļ�ͬ־���ڿ��dz���Ԯӡר�ҹ����ţ�����������������⽻���������ֶ��ع�ҵ��ר��ȥ������ίԱ�����ų���ȥ����ӡ�Ȱ��������ع�ҵ����˵��������һ������ίԱ��������

  ���������ίԱ���������������������ܵ���ʲô����ίԱ��ίԱ�����ɾ�������ؼ�ʱ�̡���g�ڲ���Ȼ����·�߶���������·�߶���Ҳûʲô��������������³����ͷ�ϡ�����������g������ȫ��ǣ����ȥ�����һ��Ӿ���·�߶�������g��·���ϣ����������g�����������壡���ֻ�����˵��ô��Ҫ����g����������������³�����ʲô�ˣ������Ǻ�³�������������ˣ�

  ���Ҹ��ú�³�������Ƶ��ǣ���g�����ɵ����ɵ�Ϻ��񶷲������֣�����֧�����ǵ�½��������ȥ�ˣ�����֧����g����������Ӱ��￵����ձ��������ձ��������ȴ��������һ�������鷳�����ձ�gcd��ΰ����������໹����g���ξ����������վ�ڰ���һ�ߡ�����������Ұ��������ˣ�����Ұ�࿴������Ͷ��·��ֻ������������ʹ����Ԯ�ˡ�

  ��³�������俴����ǰ������g�����ɴ��С��⼸������������·�߶�����ʱ��Ҳ�����Լ����к�������ȴ������ȣ������Լ�������ʲô�취�أ�

  ����³����ͬ־����ʹ�ձ�������նԻ���ս��gc���ʵ�ָʾ����������³������ɫ����һ�Բ�����Ұ��������ȿ��ڡ�

  ��ʲô���ʵ�ָʾ���ѵ��ǹ���ָʾ���ǰ���g����·�ߴ����������·�ߵģ�����³������ʲô�ˣ�Ұ���⼸�������ɵ���˼����ס�����⼸���һ�������������������ӡ�ȵ�֧�֣����þ���·��֮��Ϊ��������g��������·�߶��������㲻�ܴ�����࣬ҲҪ�Ѱ��￵������������ǰᵽ������������±�ɹ����ɵĵ��̡�

  �����ǰ��￵���������ִ�����ߵ�ȷ���������壡����gԪ�Ϻ�����ʹ�ĵص��������ڵ�����������˽���ơ����˰����ˡ��е۹��������ҵ���棬���и��ָ������ձ����е����������ij�����󣡶��ҹ��˺�ũ��û��һ�������ϵ�Ȩ���������ʲ��׼��͵۹�����Ĺ������ϸ��ֹ������Ĺ��ᡢũ��Ҳ������Ϊ����ũ����񡭡������ﻹ��һ�����˹��ң�����������쵼�µ������������������ԱҲ������������Ȩı˽��̰��**�¼��������������൳Ա�ɲ�ֱ�Ӳ�����ҵ��Ӫ�����ü��˿��蹤����ũ�������Ͷ����񣡺�³����ͬ־����˵��Щ�˻���gcdô����˵�����ߵ�·������������·���𣿡�

  �����صĻ�˵�úܼ�����Ҳ˵�����ڳ�������g�����ɴ��е��Ŀ����档���˵����ͬ���￵�����IJ�֮ͬ����ʲô�ط����Ǿ��������������Ҫʵ��gc����ģ���Ȼ��Щ�ظ����������˼�뻹�Ǻܽ����ġ�

  ��³����ȴ���غ���һ������Ϻ����ص���������ͬ־����֪��ʲô���������壿����������ʵ�еIJ���ʲô�������壬ֻ�ǡ���ֻ���ձ���ɫ��������壡���������ձ�gcd�ġ����챨���Ͼ�����ô˵�ġ���Ϊ�������ձ�gcd����Ψһ��ִ�����������������Ĵ����Dz����ģ�����ʵ�е��ƶ�ֻ��Ȩ��֮�ơ��ͺ͵�����������ʵ�е��¾�������һ������

  ���º�������λ��gԪ��Ҳ���������ˣ����￵������������һ�׾�Ȼ�������������壡��ʲô�������������壿

  ��ʵ�����ز�֪�����������ᵽ����Щ���⣬��³������ͱ����Ī˹���ˡ�����Ī˹�ƴ���û�и����κ�ָʾ���ͺ���ʲô���鶼û�з���һ������ȻĪ˹��ʲô����û˵�����Ǻ�³��������ᵽ������֪����˼�ˣ������˼�����û��������¶�������Ҳû�취�ܣ���Ϊ����������������أ���������˵��Ҫ������Ҫ���ձ�վ���Լ���ߣ������Ķ���С�¶�����˵��g��������ձ���ɫ������塣���������Ҫ�ǻ�����ʣ�����Ļ������������ΰ�����һ���޲��׼�������ʵģ�

  ��³������������̾�˿�����������һ����������ͬ־�ǣ�������ؼ������⻹�Ǿ������⡣��Ȼӡ�Ⱥ�����ж�ȡ���˴�ʤ�����ո��˶��ϼ�����ȫ�������������ȫӡ�ȡ��������������������Ȼ�dz��Ͼ����ر��Ǵ�Ӣ�۹��ڴ˴��ж�ս�ܺ��Ѿ�����ά�֣������¹�������ŷ����ŷ�������������С��һ���¹����С���ŷ�Ĺ�ҵ����ȫ����Ա���������ǵ�ս��DZ������dz����£��������뼯��ȫ������Ӧ�ԡ������й��ľ�������Ҳ�dz�ǿ������������սǰ��ս����ʼ�ĵ�һ�����ŷ�������˼�ֵ��ʮ����Ԫ�����豸���ֽ����˴��ģ�Ĺ�ҵͶ�ʣ�������Щ�豸��Ͷ���Ѿ�������Ч���������dz���������ͷḻ����Դ��ս��DZ��ͬ���dz����ˣ����������ϵ¹��л�������������������󡭡���

  ��ص��鷳������Щ���ˣ�Ұ�������ɽ�����������������Ǽ�������ɫ���ࡣ��³������Ȼû����˵�����Ǹ缸�������������ף����ͺ��һ������ǿ��������ɶ��˼�����Dz�׼����ͦ�����ˣ�

  ����³����ͬ־����ɽ�����������ģ�����̽�����������ڵ����������������ϯ�����Ӧͬ�й���ս�ġ�����

  ���������������͵������ǰ��������ܻ�Ұ��ͬ־����g��ϯ�������ձ��Ǿ�����ͬ�й���ս�ģ���

  ��³���� ��ǰһ�ﲻ���õĹ����ɣ�������п಻�������Dz�������Ҫȡ�������֮���ʲô�ֶξ͸Ͻ�ȥ�ð�������������֧��ô�����ڸ��Լ�����ϻ���ʲô�ã����浱�Լ�����g��̫����ϯ����

  ������g���п�����³���򲻿������ͻ��࿴�˿��������Ұ������������ѵ�������³����ͬ־����һ�����������Ӧ���˽�һ�¡���ʵ����ʵ�������ڵ���g��ϯ����ಢ�����������ձ��ˣ���

  �����ǡ����ձ��ˣ�����³����������ü���ĵ����������⼸���һﻹ�����ģ��Լ���ص��鷳������ͦ��ģ���

  ����

  ��Ұ�������ɽ�������������κͺ����������ĸ�һ��ȥ��������ʹ�ݣ��������빬�ڵ�ij��Ƨ�����鷿���������Ͱ��￵�򡢼��ٽ����˵�����̸ʱ����������ίԱ���ٺ���ɫ���������˽����������⻰�����������϶�ʱ����һ˿ɱ������֪�����Ƕ�̸��Щʲô�𣿡�

  ���ٺƻ�û��˵�����ձ���������β����μ��ٽ��������һ����������̸ʲô���϶���������������������������£�����ҧ��ҧ�������¿��˿���û�з��������˵ȣ���ѹ��������������ϯ���⼸�������ɶ��ǻ����������ã���

  ���￴�˿����￵�򡣺���ҡҡͷ������ֻ��Ī˹�����ﲻ�ý������������˶��ֵ������Ͼ����Ƕ��аѱ�������Ļ����������ѱ���ʲô�����ļ�λ�����ղ�����Ҫ��������ѱ�������Ҳ����Ļ�����Ҳ�����ֲ������ִ̨����g��

  ���ߣ��ѵ�������Ұ��������Ǽ���������Ϊ�������ٽ�����ɫ���������ģ����ͼ��ٺƲ�����Ī˹�Ƶ�·�ӲμӸ����ġ���������Ļ������沢û���������dz����˵�֤�ݡ�

  ���ٺ�Ҳ���͵��������������Ǽ�����������ȥ�ˣ���ϯ���ҾͲ�������Ļ���Ļ������˺��������

  ��������������üë��ֻ��˵�������벻��˺�ƣ�����Ҳ����������Ļ����߳�ŭ�����ƹ���ˤ�����ֿ������￵�������ļ����ĸ����У�������λ������ࡣ

  ��Ұ������������ձ��۹��������Ͷ�����ף������￵��˵���������DZ�������Դ����������ͷŵģ����п��ܱ��Դ巢չ�������񣬶��Դ����������Ǵ��ǹ��ٻ���������£�Ϊ�����๤������

  ��ʵ�Դ�����Ļ����������ˣ��������ڴ��ǹ��ٻ���������нˮ���ˡ�

  �������ͷ�������װ������˼����Ұ����������ͽ�����񡣶����Ƿ������ţ�Ҳ����·�ߴ���������g�����ɵ�������Ա�����ܵ�ǣ��������Ļ�������Ҳ�͵õ��չ��ˡ�

  ��Ұ��ĸ���ϯ�Ͳ���������ϯ�أ���������ֽ����ʵ���

  ������ϯ��ɽ���������ǹ����ɵĵڶ������Ұ�൹̨���������Ӱࡣ�����￵�������룺������������ϯ��������һ������

  ��������һ�����ϸ��𣿡�

  ���ڵIJ���������ϯ���൱�ڸ���ǰ�����࣬�����λ�ø�½������һ����£���ǵİ취������½���߲�ȴδ��������顭��

  ���ϵģ������￵�������Ƭ�̣�������ʲô���Ϊ�ѵĻ�Ҫ˵����ֻҪ����ͬ�����ձ�����ʵ����������ľ������ߡ�½���߲�һ����ܸ��˵ģ���

  ��ʲô������˵�ڱ������������壿������������㶡�����ô��û�뵽�����￵���Ȼ�����ô������������

  ��Ϊʲô�������أ���������ľ������߲��Ǻܳɹ������û������Ĺ�����Դ��������ô����֧�����ڵ�ս����������΢΢һЦ���ƺ����г��񣺡�����½���������ĸ߼����춼��֧������ĸ㷨����ϣ�����ձ��������У����Ǻβ��������ǵ�Ҫ�󣿡�

  �ձ�½�����ĸ߲㵱Ȼ֧�֡������ʱ����塱�ˣ���Ϊ���DZ����Ͳ����޳���g�ľ������ߣ���������Ϊ����ս��ʧ�ܺ��ձ��ġ�����Σ������ѡ��֧��gcd�ġ�������g�ڸ���ʤ����ʵ�еĹ����ƺͼƻ�����һֱ�dz����У�����Ϊ���Ǹ���ǰ���ʱ�����á�������ʵ�е��ձ���ɫ������������ǿ��������ʱ����塣���ұ��ձ�����ǰ����һ�׻�Ҫ�ã���Ϊû�вƷ������ͺ͹�����֯�������飬����һ��һ�ⷢչ���ã���һ�����ձ����ȸ�������

  ����֪�����ҵ�Ȼ֪�����ܶ������춼����̸�����Ƶ����⡣���������ԥ��һ�£�����û�а취���������Ͼ���Ҳ�����Ǹ�gc�����ߡ����ٽ�ȴ��Щ���ˣ��������ѵ�������ϯ��������Ҫ�����DZ�ס��Ȩ�����DZ�����£½������

  �����������������

  ������Ҫ��������ͬ�й���ս����������С�¡������￵�����ѵ���

  ����һ㶣��������������������������˼�Ǵ�Ӧ�����˵�Ҫ�󣬺��й���ս�𣿡�

  ���￵���Դ�ҡ�����˹�һ��������Ȼ�����ˣ���ϯ�����Ǵ򲻹��й��˵ģ�����ҧҧ���������������ǿ��Ը�����Ļ���һ����Ʊ��������һ��ʱ�����ޣ�һ���Ժ󲻹�������û�д��°��޶����������й���ս����������Ļ�Ӧ�ò��������Ϻ�����˺�������Ͼ������Ǹ���̨�����Ĺ�����Ҳ�϶��ϲ���̨����

  ������˵�ͷ����ʵ���ڸո���˵�ж���ݵ�����£�Ҳ�����Խ���Ҫ���й�һս���Ͼ��й�һ��������������ô����Ҳ�����������ġ���������˵�й��Ѿ�ӵ�п��Ը����ձ����������ͺ�ը�������ձ�����������ǵ�ս������û�к󣬿�ս�����ľͶ�ʱ��Ȼ�޴��ˡ������޷Ǿ���ƴ������ƴ��ҵ��Ҫ�����й���ը��ÿ�쵽�ձ����ϼ�ǧ��ը�������ձ��Ĺ�������ըƽ�ˣ����̻����ë����

  ������һ���Ժ��أ����������Щ���ĵص���������Ļ�����˿ɲ��ú�Ū��������Ǵ�Ӧ��һ���ս����ʱ��ȴ˵�����㣬�㲻������Ĺ������ǵ����ݡ�����

  ����ʱ�����ǾͲ����ˣ�������Ц��Ц���������Ǵ����˰��޺�����Ⱥ�����ձ��Ĺ���������������﷭��10��������Ļ��������ó�������֤�����ձ���Ҳ�����������ġ���˵�ˣ������ܲ��ܰ����й����¹��ļй�������˵����(δ���������)