�� 744 ���� �� ������Ʊ��
2013-11-08 ���ߣ� ������
���������פ�ձ���ʹ��ռ���Ŷ�����ľ�����������ĵĵ�Ƥ��ͬʱҲ���������פ�ձ���ʹ����ռ������������Ϊ�����ġ���Ȼ������ʹ�ݵĵ�λҲ��������ģ�˭��֪���������ձ�gcd�ġ�̫�����롱����g�����ɵ��ܺ�̨��
����һ���磬������ʹ���ڣ��������У��Ѿ����������˼�λ�ÿ͡�����g����ϯ�沿��������ϯҰ�����������g��֯����ɽ����������g����ǣ��൱�����鳤���������Σ������Ѿ����˵���g���к����أ��⼸λ�ɶ��Ƕ�һ�½������ձ���Ҫ�������Ĵ�������ʱ���ȴ���˴����Сѧ��һ�����˰��ƨ�ɣ�˫�ַ���ϥ���ϣ�Ŀ�ⶼ�۽������Ƕ����һ��ͺ�Դ���������ʹ���ϡ�
���������ʹ���������.��³��������Ҳ�Ǹ��˲�������ﰡ����ԭ������ʷ��1935���ʱ�����Ѿ���Ī˹����ί��һ����ˣ����������ʱ�գ���³����ͬ־�Ĺ��˲��ѣ���û���ܽ�ʵ����Ļ������Ż���Ů�����ֲ�����̫�ˣ������Ǻ�����ٳ���������һֱ����������Ȩ�����ĵ��ż�����������������g���������������������վ������Ļ�һ�ߣ�������;������ƽ���ȣ�һֱ��������ұ��ҵ��ҵ�е����쵼�ɲ�����ʮ���ĩ��ʱ���ɵ��ձ���������ұ��ҵר�����ų���Ϊ�ձ�������ҵ�Ľ��������˺������͡�Ҳͬ�ձ�gcd�ļ����߲����ィ��������˽�����ꡣ�����ֱ��⽻����ίԱ�Ჿ����Ϊפ�ձ���ʹ���Դ��������ǰ���ʵ�����ŵ��˹����ʹ�����Ǹ�ʱ���ձ��ۿ���Ҫ����������֣����ƺܲ��á�����û��ʲô�������ձ���ʹ�����Ǿͱ��˺�³��������⽻���������⺺�ˡ�
��Ȼ��³�����⽻������������פ�ձ���ʹ������ɵò�������Ȼû��ʲô���ʵĵط�����Ҳû�з�ʲô������ƽ���ȵİ����������ίԱ����λ�Ӹ������ˡ������ձ�gcdҲ���·ת����Ȼ������������Ⱥ����ս�ж�ȡ����ʤ����������������˺ô�һ����̽������������������鱾������Ҳû����ϵ����������Ļ�ͬ־ȴ��Ϊ��³����ͬ־��������й�������������ö�������¡��ۿ��ž�Ҫ���˺�ͨ�ˡ������������Ī˹���ع�ҵ����ίԱ��������д�Ÿ�����������Ļ�ͬ־���ڿ��dz���Ԯӡר�ҹ����ţ�����������������⽻���������ֶ��ع�ҵ��ר��ȥ������ίԱ�����ų���ȥ����ӡ�Ȱ��������ع�ҵ����˵��������һ������ίԱ��������
���������ίԱ���������������������ܵ���ʲô����ίԱ��ίԱ�����ɾ�������ؼ�ʱ�̡���g�ڲ���Ȼ����·�߶���������·�߶���Ҳûʲô��������������³����ͷ�ϡ�����������g������ȫ��ǣ����ȥ�����һ��Ӿ���·�߶�������g��·���ϣ����������g�����������壡���ֻ�����˵��ô��Ҫ����g����������������³�����ʲô�ˣ������Ǻ�³�������������ˣ�
���Ҹ��ú�³�������Ƶ��ǣ���g�����ɵ����ɵ�Ϻ��������֣�����֧�����ǵ�½��������ȥ�ˣ�����֧����g����������Ӱ������ձ��������ձ��������ȴ��������һ�������鷳�����ձ�gcd��ΰ��������������g���ξ����������վ�ڰ���һ�ߡ�����������Ұ��������ˣ�����Ұ�������Ͷ��·��ֻ������������ʹ����Ԯ�ˡ�
��³�������俴����ǰ������g�����ɴ��С��⼸������������·�߶�����ʱ��Ҳ�����Լ����к�������ȴ������ȣ������Լ�������ʲô�취�أ�
����³����ͬ־����ʹ�ձ�������նԻ���ս��gc���ʵ�ָʾ����������³������ɫ����һ�Բ�����Ұ��������ȿ��ڡ�
��ʲô���ʵ�ָʾ���ѵ��ǹ���ָʾ���ǰ���g����·�ߴ����������·�ߵģ�����³������ʲô�ˣ�Ұ���⼸�������ɵ���˼����ס�����⼸���һ�������������������ӡ�ȵ�֧�֣����þ���·��֮��Ϊ��������g��������·�߶��������㲻�ܴ�����࣬ҲҪ�Ѱ��������������ǰᵽ������������±�ɹ����ɵĵ��̡�
�����ǰ�����������ִ�����ߵ�ȷ���������壡����gԪ�Ϻ�����ʹ�ĵص��������ڵ�����������˽���ơ����˰����ˡ��е۹��������ҵ���棬���и��ָ������ձ����е����������ij�������ҹ��˺�ũ��û��һ�������ϵ�Ȩ���������ʲ����͵۹�����Ĺ������ϸ��ֹ������Ĺ��ᡢũ��Ҳ������Ϊ����ũ����������ﻹ��һ�����˹��ң�����������쵼�µ������������������ԱҲ������������Ȩı˽��̰��**�¼��������������൳Ա�ɲ�ֱ�Ӳ�����ҵ��Ӫ�����ü��˿��蹤����ũ�������Ͷ�����³����ͬ־����˵��Щ�˻���gcdô����˵�����ߵ�·������������·���𣿡�
�����صĻ�˵�úܼ�����Ҳ˵�����ڳ�������g�����ɴ��е��Ŀ����档���˵����ͬ��������IJ�֮ͬ����ʲô�ط����Ǿ��������������Ҫʵ��gc����ģ���Ȼ��Щ�ظ����������˼�뻹�Ǻܽ����ġ�
��³����ȴ���غ���һ������Ϻ����ص���������ͬ־����֪��ʲô���������壿����������ʵ�еIJ���ʲô�������壬ֻ�ǡ���ֻ���ձ���ɫ��������壡���������ձ�gcd�ġ����챨���Ͼ�����ô˵�ġ���Ϊ�������ձ�gcd����Ψһ��ִ�����������������Ĵ����Dz����ģ�����ʵ�е��ƶ�ֻ��Ȩ��֮�ơ��ͺ͵�����������ʵ�е��¾�������һ������
���º�������λ��gԪ��Ҳ���������ˣ����������������һ��Ȼ�������������壡��ʲô�������������壿
��ʵ�����ز�֪�����������ᵽ����Щ���⣬��³������ͱ����Ī˹���ˡ�����Ī˹�ƴ���û�и����κ�ָʾ���ͺ���ʲô���鶼û�з���һ������ȻĪ˹��ʲô����û˵�����Ǻ�³��������ᵽ������֪����˼�ˣ������˼�����û��������¶�������Ҳû�취�ܣ���Ϊ����������������أ���������˵��Ҫ������Ҫ���ձ�վ���Լ���ߣ������Ķ���С�¶�����˵��g��������ձ���ɫ������塣���������Ҫ�ǻ�����ʣ�����Ļ������������ΰ�����һ������������ʵģ�
��³������������̾�˿�����������һ����������ͬ־�ǣ�������ؼ�������Ǿ������⡣��Ȼӡ�Ⱥ�����ж�ȡ���˴�ʤ�����ո��˶��ϼ�����ȫ�������������ȫӡ�ȡ��������������������Ȼ�dz��Ͼ����ر��Ǵ�Ӣ�۹��ڴ˴��ж�ս�ܺ��Ѿ�����ά�֣������¹�������ŷ����ŷ�������������С��һ���¹����С���ŷ�Ĺ�ҵ����ȫ����Ա���������ǵ�ս��DZ������dz����£��������뼯��ȫ������Ӧ�ԡ������й��ľ�������Ҳ�dz�ǿ������������սǰ��ս����ʼ�ĵ�һ�����ŷ�������˼�ֵ��ʮ����Ԫ�����豸���ֽ����˴��ģ�Ĺ�ҵͶ�ʣ�������Щ�豸��Ͷ���Ѿ�������Ч���������dz���������ͷḻ����Դ��ս��DZ��ͬ���dz����ˣ����������ϵ¹��л����������������������
��ص��鷳������Щ���ˣ�Ұ�������ɽ�����������������Ǽ�������ɫ���ࡣ��³������Ȼû����˵�����Ǹ缸�������������ף����ͺ��һ������ǿ��������ɶ��˼�����Dz�����ͦ�����ˣ�
����³����ͬ־����ɽ�����������ģ�����̽�����������ڵ����������������ϯ�����Ӧͬ�й���ս�ġ�����
���������������͵������ǰ��������ܻ�Ұ��ͬ־����g��ϯ�������ձ��Ǿ�����ͬ�й���ս�ģ���
��³���� ��ǰһ�ﲻ���õĹ����ɣ�������п�������Dz�������Ҫȡ�������֮���ʲô�ֶξϽ�ȥ�ð�������������֧��ô�����ڸ��Լ�����ϻ���ʲô�ã����浱�Լ�����g��̫����ϯ����
������g���п�����³���������ͻ���˿��������Ұ������������ѵ�������³����ͬ־����һ�����������Ӧ���˽�һ�¡���ʵ����ʵ�������ڵ���g��ϯ����ಢ�����������ձ��ˣ���
�����ǡ����ձ��ˣ�����³����������ü���ĵ����������⼸���һﻹ�����ģ��Լ���ص��鷳������ͦ��ģ���
����
��Ұ�������ɽ�������������κͺ����������ĸ�һ��ȥ��������ʹ�ݣ��������빬�ڵ�ij��Ƨ�����鷿���������Ͱ�����ٽ����˵�����̸ʱ����������ίԱ���ٺ���ɫ���������˽����������⻰�����������϶�ʱ����һ˿ɱ������֪�����Ƕ�̸��Щʲô�𣿡�
���ٺƻ�û��˵�����ձ���������β����μ��ٽ��������һ����������̸ʲô���϶���������������������������£�����ҧ��ҧ�������¿��˿���û�з��������˵ȣ���ѹ��������������ϯ���⼸�������ɶ��ǻ����������ã���
����˿��������ҡҡͷ������ֻ��Ī˹�����ﲻ�ý������������˶��ֵ������Ͼ����Ƕ��аѱ�������Ļ����������ѱ���ʲô�����ļ�λ�����ղ�����Ҫ��������ѱ�������Ҳ����Ļ�����Ҳ�����ֲ������ִ̨����g��
���ߣ��ѵ�������Ұ��������Ǽ���������Ϊ�������ٽ�����ɫ���������ģ����ͼ��ٺƲ�����Ī˹�Ƶ�·�ӲμӸ����ġ���������Ļ������沢û���������dz����˵�֤�ݡ�
���ٺ�Ҳ���͵��������������Ǽ�����������ȥ�ˣ���ϯ���ҾͲ�������Ļ���Ļ������˺��������
��������������üë��ֻ��˵�������벻��˺�ƣ�����Ҳ����������Ļ����߳�ŭ�����ƹ���ˤ�����ֿ�������������ļ����ĸ����У�������λ������ࡣ
��Ұ������������ձ��۹��������Ͷ�����ף��������˵���������DZ�������Դ����������ͷŵģ����п��ܱ��Դ巢չ���������Դ����������Ǵ��ǹ��ٻ���������£�Ϊ�����������
��ʵ�Դ�����Ļ����������ˣ��������ڴ��ǹ��ٻ���������нˮ���ˡ�
�������ͷ�������װ������˼����Ұ����������ͽ���������Ƿ������ţ�Ҳ����·�ߴ���������g�����ɵ�������Ա�����ܵ�ǣ��������Ļ�������Ҳ�͵õ��չ��ˡ�
��Ұ��ĸ���ϯ�Ͳ���������ϯ�أ���������ֽ����ʵ���
������ϯ��ɽ���������ǹ����ɵĵڶ������Ұ�൹̨���������Ӱࡣ������������룺������������ϯ��������һ������
��������һ�����ϸ��𣿡�
���ڵIJ���������ϯ���൱�ڸ���ǰ�����࣬�����λ�ø�½������һ����£���ǵİ취������½���߲�ȴδ��������顭��
���ϵģ�������������Ƭ�̣�������ʲô���Ϊ�ѵĻ�Ҫ˵����ֻҪ����ͬ�����ձ�����ʵ����������ľ������ߡ�½���߲�һ����ܸ��˵ģ���
��ʲô������˵�ڱ������������壿������������㶡�����ô��û�뵽��������Ȼ�����ô������������
��Ϊʲô�������أ���������ľ������߲��Ǻܳɹ������û������Ĺ�����Դ��������ô����֧�����ڵ�ս����������һЦ���ƺ����г�������½���������ĸ����춼��֧������ĸ㷨����ϣ�����ձ��������У����Ǻβ��������ǵ�Ҫ��
�ձ�½�����ĸ߲㵱Ȼ֧�֡������ʱ����塱�ˣ���Ϊ���DZ����Ͳ�������g�ľ������ߣ���������Ϊ����ս��ʧ�ܺ��ձ��ġ�����Σ������ѡ��֧��gcd�ġ�������g�ڸ���ʤ����ʵ�еĹ����ƺͼƻ�����һֱ�dz����У�����Ϊ���Ǹ���ǰ���ʱ�����á�������ʵ�е��ձ���ɫ������������ǿ��������ʱ����塣���ұ��ձ�����ǰ����һ��Ҫ�ã���Ϊû�вƷ������ͺ�����֯�������飬����һ��һ�ⷢչ���ã���һ�����ձ����ȸ�������
����֪�����ҵ�Ȼ֪�����ܶ������춼����̸�����Ƶ����⡣���������ԥ��һ�£�����û�а취���������Ͼ���Ҳ�����Ǹ�gc�����ߡ����ٽ�ȴ��Щ���ˣ��������ѵ�������ϯ��������Ҫ�����DZ�ס��Ȩ�����DZ�����£½������
�����������������
������Ҫ��������ͬ�й���ս����������С�¡�����������ѵ���
����һ㶣��������������������������˼�Ǵ�Ӧ�����˵�Ҫ���й���ս�𣿡�
������Դ�ҡ�����˹�һ��������Ȼ�����ˣ���ϯ�����Ǵ��й��˵ģ�����ҧҧ���������������ǿ��Ը�����Ļ���һ����Ʊ��������һ��ʱ�����ޣ�һ���Ժ�������û�д��°������������й���ս����������Ļ�Ӧ�ò��������Ϻ�����˺�������Ͼ������Ǹ���̨�����Ĺ�����Ҳ�϶��ϲ���̨����
������˵�ͷ����ʵ���ڸո���˵�ж���ݵ�����£�Ҳ�����Խ���Ҫ���й�һս���Ͼ��й�һ��������������ô����Ҳ�����������ġ���������˵�й��Ѿ�ӵ�п��Ը����ձ����������ͺ�ը�������ձ�����������ǵ�ս������û�к�ս�����ľͶ�ʱ��Ȼ���ˡ������Ǿ���ƴ������ƴ��ҵ��Ҫ�����й���ը��ÿ�쵽�ձ����ϼ�ǧ��ը�������ձ��Ĺ�������ըƽ�ˣ����̻����ë����
������һ���Ժ��أ����������Щ���ĵص���������Ļ�����˿ɲ��ú�Ū��������Ǵ�Ӧ��һ���ս����ʱ��ȴ˵�����㣬�㲻������Ĺ������ǵ����ݡ�����
����ʱ�����ǾͲ����ˣ�������Ц��Ц���������Ǵ����˰�������Ⱥ�����ձ��Ĺ�����������������10��������Ļ��������ó�������֤�����ձ���Ҳ�����������ġ���˵�ˣ������ܲ��ܰ����й����¹��ļй�������˵����(δ���������)